Introduction au Compressed sensing. Null Space Property et Restricted Isometry property

On a vu qu’on pouvait réécrire (BP) comme un problème de programmation linéaire et que donc on pouvait implémenter cette procédure de manière efficace même en grandes dimensions N . D’un point de vue théorique, on a montré que si une matrice de mesure A ∈ Rm×N permettait la reconstruction de n’importe quel signal de Σs par Basis Pursuit alors nécessairement m & s log(eN/s), càd on doit avoir au moins s log(eN/s) mesures linéaires pour résoudre le problème du Compressed Sensing par BP sur Σs. Dans ce chapitre, on va introduire des conditions sur la matriceA qui assurent la reconstruction exacte par BP de tous les vecteurs de Σs. La propriété qu’on cherche à obtenir est rappelée ici. Définition 1.2. Soit A : RN → Rm une matrice telle que m ≤ N et s un entier plus petit que N . On dit que A vérifie la propriété de reconstruction exacte d’ordre s quand pour tout vecteur s-sparse x, on a argmin t∈RN ( ‖t‖1 : At = Ax ) = {x}.